306 ANOS DE LEONHARD EULER

Leonhard Paul Euler (ler-Óilã) nasceu na Basileia em 15 de abril de 1707  e morreu em São Petersburgo em 18 de setembro de 1783 foi um grande matemático e físico suíço de língua alemã que passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha.

Pouco depois do seu nascimento, sua família mudou-se para a cidade de Riehen, onde passou a maior parte da sua infância. Desprezando seu prodigioso talento matemático, seu pai determinou que ele estudaria Teologia e seguiria a carreira religiosa. Paul Euler era um amigo da família Bernoulli, e Johann Bernoulli - que foi um dos matemáticos mais importantes da Europa - seria eventualmente uma influência no pequeno Euler.

A sua instrução formal adiantada começou na sua cidade natal, para onde foi mandado viver com a sua avó materna. Aos 14 anos matricula-se na Universidade de Basileia, e em 1723, recebe o grau de Mestre em Filosofia com uma dissertação onde comparava Descartes com Newton. Nesta altura, já recebia, aos sábados à tarde, lições de Johann Bernoulli,^[4] que rapidamente descobriu o seu talento para a matemática.

Euler nesta altura estudava teologia, grego e hebreu, pela vontade de seu pai - para mais tarde se tornar pastor. Porém Johann Bernoulli resolveu intervir e convenceu Paul Euler que o seu filho estava destinado a ser um grande matemático.

Em 1726, Euler completou a sua dissertação na propagação do som, e a 1727 incorporou a competição premiada do problema da Academia de Paris, onde o problema do ano era encontrar a melhor maneira de colocar os mastros num navio. Ganhou o segundo lugar, perdendo para Pierre Bouguer, mais tarde conhecido como “o pai da arquitetura naval”. Euler, entretanto, ganharia o prémio anual doze vezes.

Em matemática e física, há um grande número de tópicos em honra de Leonhard Euler, muitos dos quais incluem a sua função própria, a equação, fórmula, identidade, número (simples ou seqüência), ou outra entidade matemática. Muitas dessas entidades receberam nomes simples e ambíguos, como a função de Euler, a equação de Euler e a fórmula de Euler. O trabalho de Euler tocou tantas áreas que muitas vezes é a mais antiga referência escrita sobre uma determinada questão.

Euler fez importantes descobertas em campos variados nos cálculos e grafos. Ele também fez muitas contribuições para a matemática moderna no campo da terminologia e notação, em especial para as análises matemáticas, como a noção de uma função matemática. Euler foi um dos mais prolíficos matemáticos, calcula-se que toda a sua obra reunida teria entre 60 e 80 volumes.

Além disso ficou famoso por seus trabalhos em mecânica, óptica, e astronomia. Euler é considerado um dos mais proeminentes matemáticos do século XVIII. Uma declaração atribuída a Pierre-Simon Laplace manifestada sobre Euler na sua influência sobre a matemática:

Leiam Euler, leiam Euler, ele é o mestre de todos nós.

ARRANJOS E COMBINAÇÕES

01)Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram 12 candidatos aos cargos de presidente, vice-presidente e secretário. De quantos modos diferentes estes candidatos poderão ocupar as vagas deste grêmio?

02)No meio da “invasão tecnológica” que toma conta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que a senha é formada por quatro algarismos distintos, sendo o primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma outra posição. Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque?

03) Júlia deseja viajar e levar 5 pares de sapatos, sabendo que ela possui em seu guarda-roupa 12 pares, de quantas maneiras diferentes Júlia poderá escolher 5 pares de sapatos para a sua viagem?

04)Lucas vai realizar uma viagem e quer escolher quatro entre nove camisetas. De quantos modos distintos ele pode escolher as camisetas?
Temos nove camisetas tomadas quatro a quatro.

ARRANJO - 01 

ARRANJO - 02 

SURGIMENTO DA GEOMETRIA ANALÍTICA

René Descartes

Pierre de Fermat

Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos. Mas, apesa do seu brilhantismo faltava operacionalidade à geometria grega. E isto só iria ser conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria.

Ocorre porém que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o toque de genialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemática e o segundo por razões filosóficas. E, diga-se de passagem, não trabalharam juntos: a geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas simultâneas e independentes.

Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao Parlamento de Toulouse, dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à matemática, certamente não era porque faltasse, alguém em sua posição, outras maneiras de preencher o tempo disponível. Na verdade Fermat simplesmente não conseguia fugia à sua verdadeira vocação e, apesar de praticar matemática como hobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o avanço desta ciência quanto ele. Além da geometria analítica, Fermat teve papel fundamental na criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo de Probabilidades e, especialmente, da teoria dos números, ramo da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros.

A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno texto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos e data no máximo, de 1636 mais que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra completa. É que fermat, bastante modesto, era avesso a publicar seus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analítica.

O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de freqüentar rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia.

A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria como um dos três apêndices do Discurso do método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos.

A Geometria Analítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições deixadas por Fermat e Descartes. Inclusive sua marca mais característica, um par de eixos ortogonais, não usada por nenhum deles. Mais, cada um a seu modo, sabiam que a idéia central era associar equações a curvas e superfícies. Neste particular, Fermat foi mais feliz. Descartes superou Fermat na notação algébrica.
 

TEORIA DO CONJUNTOS

Georg Cantor

Teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos, que são coleções de elementos. Embora qualquer tipo de elemento possa ser reunido em um conjunto, a teoria dos conjuntos é aplicada na maioria das vezes a elementos que são relevantes para a matemática. A linguagem da teoria dos conjuntos pode ser usada nas definições de quase todos os elementos matemáticos.
O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado por Georg Cantor e Richard Dedekind em 1870. Após a descoberta de paradoxos na teoria ingênua dos conjuntos, numerosos sistemas de axiomas foram propostos no início do século XX, dos quais os axiomas de Zermelo-Fraenkel, com o axioma da escolha, são os mais conhecidos.
Conceitos de teoria dos conjuntos são integrados em todo currículo de           matemática  nos Estados Unidos. Fatos elementares sobre conjuntos e associação de conjuntos são frequentemente ensinados na escola primária, junto com diagramas de Venn, diagramas de Euler, e as operações elementares, tais como união e interseção de conjunto. Conceitos ligeiramente mais avançados, tais como cardinalidade são uma parte padrão do currículo de matemática de graduação.
A teoria dos conjuntos é comumente empregada como um sistema precursor da matemática, particularmente na forma de teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha. Além de seu papel fundamental, a teoria dos conjuntos é um ramo da matemática em si própria, com uma comunidade de pesquisa ativa. Pesquisas contemporâneas em teoria dos conjuntos incluem uma diversa coleção de temas, variando da estrutura do número real ao estudo da consistência de grandes cardinais.