Matemática nas eleições

A MATEMÁTICA DAS ELEIÇÕES

             Em época de eleição ouvimos muitos termos que não fazem parte de nosso vocabulário diário e que nem sempre nos são devidamente explicados.

            Para sanar minha curiosidade a esse respeito, fui pesquisar e relato a vocês as informações que colhi.

            Coligação: associação entre dois ou mais partidos.

            Voto na legenda: o eleitor vota num partido, sem escolher um candidato.

            Voto nominal: voto no qual está indicado o número de um candidato.

            Voto válido: voto nominal ou voto na legenda. Até pouco tempo, os votos em branco eram considerados votos válidos. Atualmente, os votos em branco e os votos nulos são votos inválidos.

            Eleição Majoritária: As eleições majoritárias são aquelas pelas quais se escolhem os titulares do Poder Executivo: Prefeitos, Governadores, Presidente e respectivos vices.

            A matemática desse tipo de eleição é um pouco mais complicada e a explicaremos a seguir, através de um exemplo. Mas antes, vamos entender o que é  quociente eleitoral.

            Quociente Eleitoral é um número que tem papel nas eleições proporcionais. Ele corresponde ao quociente da divisão do número de votos válidos pelo número de lugares a preencher naquela eleição, desprezando-se a fração, se igual ou inferior a 0,5 e arredondando-se para 1, se superior.

Exemplo: Em Amparo, há 44.110 eleitores que elegerão 10 Vereadores.

            Suponhamos que no próximo dia 7 compareçam às Zonas Eleitorais 44.000 eleitores de uma cidade e que, desses 44.000 votos, 200 sejam em branco e 800 sejam nulos.

            Vejamos como seriam feitas as contas, neste caso, para saber quais os 10 Vereadores de Amparo nos próximos 4 anos.

1^a operação: Cálculo do número de votos válidos.

Comparecimento        Votos em branco                    Votos nulos                Votos válidos

44.000               -        200                             -           800                  =          43.000

            Suponhamos que estejam concorrendo às vagas do Executivo Municipal de Amparo 5 partidos: A, B, C, D e E.

2^a operação: Cálculo do quociente eleitoral:   43.000 ¸ 10 = 4.300

3^a operação: Cálculo dos quocientes partidários. Para tanto, contam-se todos os votos que cada partido obteve (votos nominais + votos na legenda) e divide-se essa soma pelo quociente eleitoral – que no caso dessa suposição é 4.300.  Despreza-se a fração, qualquer que seja.

Partidos          Votação          Votação ¸quociente eleitorado          quociente partidário

A                     20.355             20.355 ¸4.300  =  4,7                                    4

B                     10.300             10.300 ¸ 4.300 =  2,4                                    2

C                       5.102               5.102 ¸ 4.300 =  1,2                                    1

D                      4.803               4.803 ¸ 4.300 =  1,1                                    1         

E                       2.440               2.440 ¸ 4.300 =   0,6                                   0

                                                                                             
                                                                                               Total =            8

            Como podemos observar, sobraram dois lugares, pois apenas oito das dez cadeiras foram preenchidas (pelos quatro candidatos mais votados do partido A, pelos dois candidatos mais votados do partido B, pelo candidato mais votado do partido C e pelo candidato mais votado do partido D). As duas vagas restantes serão redistribuídas entre os partidos A, B, C e D, da seguinte forma:

4^a operação: Distribuição das sobras de lugares não preenchidos pelo quociente partidário.

            Divide-se a votação de cada partido pelo número de lugares por ele obtido + 1. Ao partido que alcançar maior média, atribui-se a primeira sobra. Observe que, como o partido E não alcançou o quociente eleitoral, não concorre à distribuição desses lugares.

Partidos          Votação          Votação ¸N^o de lugares + 1                          Médias

A                     20.355             20.355 ¸ 5                                                   4.071,0*

B                     10.300             10.300 ¸ 3                                                   3.433,3

C                       5.102               5.102 ¸ 2                                                   2.551,0

D                  4.803                   4.803 ¸ 2                                                   2.401,5

            Como a maior média foi do partido A, ele é o beneficiado com a primeira sobra, de modo que ele passa a contar com 5 cadeiras.

5^a Operação: Por haver outra sobra, repete-se a divisão.

Partidos          Votação          Votação ¸N^o de lugares + 1                          Médias

A                     20.355             20.355 ¸ 6                                                   3.392,5  

B                     10.300             10.300 ¸ 3                                                   3.433,3*

C                       5.102               5.102 ¸ 2                                                   2.551,0

D                  4.803                 4.803 ¸ 2                                                     2.401,5

            A segunda sobra vai para o partido B. As vagas foram todas preenchidas. Se houvessem mais sobras, repetia-se a operação até todas as cadeiras estarem distribuídas.

                                               Resultado final:

Partidos                       Número        de         cadeiras         obtidas

                        Pelo quociente partidário                   pelas sobras                total

A                                4                                                         1                     5     

B                                 2                                                         1                      3      

C                                 1                                                         0                      1

D                                1                                                         0                      1

E                                 0                                                         0                      0

            Note que, pela maneira como são distribuídas as cadeiras da Câmara Municipal, um candidato pode se eleger com um número muito menor de votos que aquele obtido por um outro candidato que não consegue se eleger. Tudo depende do total de votos que seu partido conseguir naquelas eleições.

            No nosso exemplo, um candidato do partido A que tenha obtido 500 votos e ficado em quinto lugar dentro de seu partido conseguiu se eleger, ao passo que, mesmo que um candidato do partido E tenha obtido 1.500 votos, não conseguiu se eleger.

            Por isso dizem que quando votamos em um candidato podemos estar ajudando a eleger outro candidato do mesmo partido que ele. Pensando assim percebemos a importância de analisarmos o partido do candidato em quem votaremos.  

Fonte: Revista do Professor de Matemática

Prof. Chrisitane Novo Barbato

Pós-Graduação - Faculdade de Jaguariúna

Coordenadora de cursos

e-mail: cnbarbato@faj.br

home page da instituição: http://faj.br

Revisão do 2° ano

REVISÃO DE MATEMÁTICA PARA O 2° ANO A

CONTEÚDO: TRIGONOMETRIA E ANÁLISE COMBINATÓRIA

PROFESSOR: ADRIANO REGES

TRIGONOMETRIA:

1) Converta para radiano:

a) 80°                               b) 260°

2) Converta em graus:

a)5 π/4 rad                      b) 3π/10 rad

3) Encontre a primeira determinação positiva de cada arco:

a) 910°            b) 2645°            c) 23π/6 rad

ANÁLISE COMBINATÓRIA

4) Calcule ou simplifique:

a) 8!/5!                        b) (n -5)!/(n -3)!

5) Calcule C_6,3 + A_7,2

6)Usando os algarismos 1,2,3,4,5,6 e 7, determine

a) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar?

b) Quantos números de quatro algarismos distintos começam por 2 e terminam por 6?

c) Quantos números de quatro algarismos distintos são pares?

7) Com as letras da palavra DISPOR determine:

a) O total de anagramas que podemos formar.

b) Quantos anagramas começam por vogal?

c) Quantos anagramas têm as letras SP juntas e em qualquer ordem?

8) Quantas diagonais tem um eneágono? (Polígono de 9 lados)

9) Uma urna contém 7 bolas brancas e 5 bolas pretas. De quantas maneiras podemos selecionar:

a) 4 bolas

b) 3 bolas brancas e 2 bolas pretas.

10) Quantos anagramas tem a palavra PÁSSARO?

Revisão do 3º ano

REVISÃO DE MATEMATICA 3º ANO

CONTEÚDO: GEOMETRIA ANALÍTICA

PROFESSOR: ADRIANO REGES

1) Escreva a equação geral da reta definida pelos pontos A( -2 , 3) e B( 1, 4).                     Resp.: x -3y+11=0

2) Uma reta passa pelo ponto P( 3, -5) e tem coeficiente angular m = ½. Escreva a equação da reta na forma reduzida.  Resp.: y=1/2x -13/2

3) Se a reta cuja equação geral é 3x + y +10 = 0 passa pelo ponto A(k,2k), calcule as coordenadas do ponto A.  Resp.: (-2,-4).

4) Qual é a posição da reta r, de equação  4x + 6y – 3 = 0, em relação à reta s, de equação   9x - 6y + 11 = 0?   Resp.: concorrentes

5) As retas de equações ( a + 1)x + 2y – 3 = 0 e  
ax + 3y + 2 = 0 são paralelas, qual é o valor de a
.Resp.:  -3

6) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(2, 3) e é paralela à reta da equação 5x + 2y – 1 = 0    Resp.: 5x + 2y – 16 = 0    

7) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(-1, 2)  e é perpendicular à reta r de equação de r: 
2x + 5y – 4 = 0 Resp.: 5x -2y+9=0

8) (Fuvest – SP) São dadas os pontos A( 1, 5) e B( 7,1). Determine a equação de mediatriz de AB.      
Resp.: 2x -3y +1=0

9) Qual deve ser o valor de k para que as retas  r e s, de equações kx - 3y + 4 = 0 e  4x + (k + 2) – 5 = 0, respectivamente, sejam perpendiculares?  Resp.: 6

10) Calcula a distância do ponto P(1,4) à reta de equação  4x + 3y - 6 = 0 Resp.: 2

11) Sabendo que as retas de equações 3x – 4y + 7 = 0 e 3x – 4y +2 = 0 são paralelas, calcule a distância entre as duas retas.   Resp.: 1

12) Se a distância do ponto P(0,k) à reta r, de equação      
3x + 4y +3 = 0, é igual a 3 unidades, determine o valor de k.  Resp.  3 e -9/2

13) Qual é o valor do ângulo agudo formado pelas retas   y = 3x – 7 e  4x + 2y -1 =0?

Resp.  45°

14) Determine a área da região triangular que tem como vértices os pontos A(3,1), B(-2,3) e   C(1,2).  Resp.: ½

15) Sabendo que um triângulo de vértices A(2,3),B(3,1) e C(0,k) tem área igual a 2 cm. Determine o valor de k.  Resp.: 3 e 11

OBMEP

SAIBA MAIS  SOBRE A OBMEP.

         A Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas é uma realização do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA) com apoio da Sociedade Brasileira de Matemática (SBM), e promoção do Ministério da Ciência e Tecnologia e Inovação (MCTI) e do Ministério da Educação (MEC).

        A OBMEP como é conhecida, é dirigida aos alunos do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental e aos alunos do Ensino Médio das escolas públicas municipais, estaduais e federais, que concorrem a prêmios de acordo com a sua classificação nas provas. Professores, escolas e secretarias de educação dos alunos participantes também concorrem a prêmios.

                  Tem como objetivos:

1.Estimular e promover o estudo da Matemática entre alunos das escolas públicas.
2.Contribuir para a melhoria da qualidade da Educação Básica.
3.Identificar jovens talentos e incentivar seu ingresso nas áreas científicas e tecnológicas.
4.Incentivar o aperfeiçoamento dos professores das escolas públicas, contribuindo para a sua valorização profissional.

5.Contribuir para a integração das escolas públicas com as universidades públicas, os institutos de pesquisa e sociedades científicas.

6.Promover a inclusão social por meio da difusão do conhecimento.
   Os alunos participantes da OBMEP são divididos em 3 (três) níveis, de acordo com o seu grau de escolaridade:

            Nível 1 – alunos matriculados no 6º ou 7º ano do Ensino Fundamental,

            Nível 2 – alunos matriculados no 8º ou 9º ano do Ensino Fundamental,

            Nível 3 – alunos matriculados em qualquer ano do Ensino Médio.

              A OBMEP é realizada em duas fases:

            Primeira Fase: aplicação de prova objetiva contendo 20 questões (múltipla escolha) a todos os alunos inscritos pelas escolas.

             Segunda Fase: Prova discursiva aos 5% (cinco por cento) do total de alunos inscritos na Primeira Fase, em cada um dos três níveis.

         A OBMEP premiará alunos, professores, escolas e secretarias de educação. Na ocasião serão concedidas 500 (quinhentas) medalhas de ouro, 900 (novecentas) medalhas de prata, 3100 (três mil e cem) medalhas de bronze e até 46.200 (quarenta e seis mil e duzentos) certificados de Menção Honrosa. Além disso serão concedidas Bolsas de Iniciação Científica Jr.(PIC),. Programa de Iniciação Científica e de Mestrado (PICME).

DESAFIO 04

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Um comerciante compra uma caixa de vinho estrangeiro por R$1.000,00 e vende pelo mesmo preço, depois de retirar 4 garrafas e aumentar o preço da dúzia em R$100,00. Então, qual é o número original de garrafas de vinho na caixa?

Desafio 03

Solução do DESAFIO 03

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Sendo N o número de páginas do livro, temos:

N/5 = (N/3)-16

(N/5)-(N/3) = -16

(3N-5N)/15 = -16

3N-5N = -16*15

-2N = -240

N = 120

O livro possui 120 páginas!